Expressions booléennes⚓︎
Principe⚓︎
- à l’aide des trois opérations de base (ET, OU et NON), il est possible de créer d'autres fonctions logiques, celles-ci peuvent avoir plus que 2 paramètres (exemple : trois paramètres booléens a, b, c) ;
- d'un point de vue algébrique, cela revient à écrire des expressions boolénnes, telle que a.(b+c) ;
- d'un point de vue électronique, cela revient à utiliser plusieurs portes logiques élémentaires dans un même circuit pour construire de nouvelles portes logiques ;
- il est possible de faire des calculs algébriques, comme développer, réduire, etc. ; pour en savoir plus, vous pouvez cliquer ici.
Exercice
- Combien y a-t-il de fonctions logiques à un paramètre ? (pensez aux tables de vérités)
- Combien y a-t-il de fonctions logiques à deux paramètres ?
Caractère séquentiel d'une expression booléenne⚓︎
Une expression se lit de la gauche vers la droite, en respectant les parenthèses éventuelles. Ainsi, l'expression a . (b + c) ne revient pas à a . b + c.
Écriture de la table de vérité d'une expression booléenne⚓︎
Parmi les propriétés existantes en logique, il y a celle-ci : a ET (b OU c) = (a ET b) OU (a ET c). Avec les notations de l'algèbre de Boole, ceci s'écrit : a.(b+c) = a.b+a.c (distributivité de . par rapport à +).
Nous pouvons prouver cette propriété en faisant deux tables de vérités (prenez le temps de comprendre cette preuve) :
| a | b | c | b + c | a.(b + c) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| a | b | c | a.b | a.c | a.b+a.c |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Les deux tables donnent les mêmes résultats donc la relation est bien prouvée.