Voici une autre égalité totalement paradoxale : comment une somme d'entiers positifs peut-elle donner un résultat non entier et, de surcroît, négatif ??
Là encore, les mathématiciens considèrent que la somme n'a pas de valeur définie et donc que cette égalité est fausse (ouf !).
Cependant, des chercheurs en mécanique quantique (théorie des cordes) l'ont utilisée et obtenu des résultats qui ne sont pas absurdes !
Pour en savoir plus, consultez cette vidéo de Mickael Launay (chaîne micmaths) ou cette autre vidéo et cet article de Science étonnante sur l'énergie du vide et l'effet Casimir (plus compliqué). Il y a aussi cette page de site Image des maths très bien illustrée !
La somme infinie \(1 - 1 + 1 - 1 + 1 ...\) peut donner 0 ou 1 , suivant l'ordre dans lequel on effectue les opérations. Considérons maintenant la somme infinie \[ 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + ... \] Si on additionne les termes au fur et à mesure de la gauche vers la droite (de façon naturelle), on se rapprochera du nombre \(\ln(2)\simeq 0,69\) ; on considère donc que : \[ 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + ... = \ln(2) \] Mais, chose extraordinaire, il est toujours possible de faire l'addition dans un autre ordre de façon à obtenir une valeur limite quelconque ! Vous trouverez sur wikipedia un exemple de permutation simple qui divise le résultat par deux !
Si on additionne les termes au fur et à mesure les inverses des carrés des nombres entiers, on se rapprochera d'aussi près que l'on veut du nombre \(\dfrac{\pi^2}{6}\) ; ce résultat ne présente pas le caractère paradoxal des sommes précédentes mais il est néanmoins surprenant : que vient faire ici le nombre \(\pi\), qui normalement est relié aux cercles ?
Cette égalité n'est pourtant pas contestable, elle a été prouvée par Euler au 18ième siècle.
Il a démontré par la même occasion, que
\(1 + \dfrac{1}{2^4} + \dfrac{1}{3^4}+ \dfrac{1}{4^4}+ \dfrac{1}{5^4}+\dots = \dfrac{\pi^4}{90}\)
\(1 + \dfrac{1}{2^6} + \dfrac{1}{3^6}+ \dfrac{1}{4^6}+ \dfrac{1}{5^6}+\dots = \dfrac{\pi^6}{945}\)
etc.
Par contre, on ne connait pas de formule pour les puissances impaires ni la nature des nombres obtenus dans ces cas là (à part pour la puissance trois, on sait que le résultat est irrationnel).
Une remarque pour finir : on déduit de la première formule que la probabilité que deux nombres entiers pris au hasard soient premiers entre eux (qu'ils n'aient pas de diviseur commun entier autre que 1) est \(\dfrac{6}{\pi^2}\) (là encore on peut s'étonner de retrouver \(\pi\) dans une question relative aux nombres entiers !).