Il y a bien sûr une erreur dans le raisonnement !
A un moment, on a divisé par \(a-b\),
or on a supposé que \(a=b\) donc, en fait,
on divise par 0. Cette opération
étant impossible, tout résultant en découlant n'a
aucune valeur mathématique !
Voici quelques exemples de raisonnements non valides menant à des résultats absurdes.
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres égaux : \[a=b\] on multiplie par \(a\) : \[a^2=ba\] on soustrait \(b^2\) \[a^2-b^2=ba-b^2=b(a-b)\] on applique une identité remarquable dans le membre à gauche du = \[(a-b)(a+b)=b(a-b)\] donc, en divisant par \(a-b\) \[a+b=b\] donc, en soustrayant \(b\) : \[a=0\] Puisque \(a\) était quelconque au départ, on a prouvé que tout nombre est nul.
Variante : comme \(a=b\), on peut remplacer \(a\) par \(b\) dans l'égalité \(a+b=b\), ce qui donne \(2b=b\) donc, en divisant par \(b\), on trouve que \(2=1\) ! Enfin, en ajoutant 1 à cette dernière égalité, on trouve \(3=1+1\) !
Il y a bien sûr une erreur dans le raisonnement !
A un moment, on a divisé par \(a-b\),
or on a supposé que \(a=b\) donc, en fait,
on divise par 0. Cette opération
étant impossible, tout résultant en découlant n'a
aucune valeur mathématique !
Vous trouverez d'autres fausses démonstrations d'égalités ici.
Soit \(a\) un nombre quelconque. Alors : \[(a-7)^2 \ge 0\] car un carré est positif ou nul ; or : \[(a-7)^2=(a-7)(a-7)=a(a-7)-7(a-7)\] donc \[a(a-7)-7(a-7)\ge0\] d'où \[a(a-7)\ge 7(a-7)\] donc, en divisant par \(a-7\) \[a \ge 7\] Puisque \(a\) était quelconque au départ, on a prouvé que tout nombre est supérieur ou égal à 7.
Remarque : on pourrait ainsi prouver que tout nombre est supérieur ou égal à 10 ou à 58, etc. !
Il y a bien sûr une arnaque !
A un moment, on a divisé par \(a-7\),
or les inégalités changent de sens
quand on divise par un nombre négatif.
Si \(a\) est inférieur à 7, alors \(a-7\) est négatif
donc l'inégalité devient \(a\le 7\) et pas \(a\ge7\).
Dans la vidéo ci-dessous, on découpe un carré de côté 8 (donc d'aire \(8^2=64\)) et, en réarrangeant ses pièces, on forme un rectangle de dimension 13 et 5 (donc d'aire \(13\times 5 = 65\) !).
Les plus observateurs
auront remarqué un trait plus épais
vers le centre du rectangle.
L'épaisseur du trait avait pour but de masquer
le fait qu'il y a là un parallélogramme, d'aire 1 :
en fait les quatre pièces du puzzle ne se ré-assemblent pas parfaitement !
On construire ce genre de puzzle avec des termes de la suite de Fibonaci
Les élèves de terminale le savent, on (Bombelli) a inventé un nombre noté \(i\) tel que \(i^2=-1\).
On peut donc en déduire que \(i=\sqrt{-1}\) (ou \(i=-\sqrt{-1}\dots\)).
Remarquons alors que :
\[-1=i^2=(\sqrt{-1})^2=\sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = \sqrt{(-1)\times(-1)}= \sqrt{(-1)^2}= \sqrt{1}=1.\]Conclusion : \(-1=1\) !
L'erreur vient de l'utilisation de
la formule \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\),
qui n'est valable que si \(a\) et \(b\)
sont tous deux positifs.
Pour cette raison, tu ne verras jamais un prof de maths
sérieux écrire \(\sqrt{-1}\) au lieu de \(i\) !
Comment vaut la somme infinie \(1 - 1 + 1 - 1 + 1 ...\) ?
Notons \(S\) cette somme.
On peut d'abord faire le calcul ainsi : \[S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ... = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0\]
ou ainsi : \[S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ... = 1 + (- 1+1)+(-1+1) + ... = 1 + 0 + 0 + ... = 1\]
Quelle réponse est la bonne ??? Peut-être que la bonne réponse est entre les deux...
Remarquons maintenant que : \[1 - S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 ...) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ... = S\]
or l'égalité \[1 - S = S\] donne \[1 = 2 S\] donc \[S = 1 / 2\]
Mais alors ... 1 = 0 = 1/2 ??
Les mathématiciens se sortent de cette situation en disant que la somme infinie \(1 - 1 + 1 - 1 + 1 ...\) n'a pas de valeur (on parle de série divergente).
Considérons la somme infinie \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots\) ?
Notons \(S\) cette somme.
Alors : \[2S = 2 + 4 + 6 + 8 + ... \]
d'où, en soustrayant : \[2S - S = 2 + (4-1) + (6-2) + (8-3) + \dots = 2 + 3+4 + 5+\dots = S-1\]
ce qui donne \[S = S-1\]
donc en retranchant \(S\) : \[0 = -1~!\]
Là encore la somme des entiers n'a pas de valeur définie, c'est pourquoi ce genre de calcul n'a pas de sens...
Observez le calcul suivant :
\[1 = 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times \dots = \dfrac{1}{1}\times \dfrac{2}{2}\times \dfrac{3}{3}\times \dfrac{4}{4}\times \dots = \dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}\times \dfrac{4}{5}\times \dots \]
Remarquons ensuite que \(\dfrac{2}{3}<1\) ; \(\dfrac{3}{4}<1\) ; \(\dfrac{4}{5}<1\), etc. donc \(\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}\times \dfrac{4}{5}\times \dots <1\).
On en déduit que :
\[1=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}\times \dfrac{4}{5}\times \dots < \dfrac{1}{2}\times 1 = \dfrac{1}{2}\]
Conclusion : \(1 < \dfrac{1}{2}\) !!!
La moralité de ce genre de résultat est
qu'il faut éviter les calculs sur l'infini...
Restons donc sur un produit fini :
\[1 = \dfrac{1}{1}\times \dfrac{2}{2}\times \dfrac{3}{3}\times \dfrac{4}{4} = \dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}\times 4 \]
On le voit, le raisonnement fait oublier ici le numérateur 4
or ce numérateur va devenir de plus en plus grand
à mesure qu'on avance dans le produit...
Mettre au carré un nombre consiste à le multiplier par lui-même. Par exemple, le carré de 5 est \(5 \times 5 = 25\) et le carré de \(-3\) est \((-3) \times (-3) = 25\). La manipulation à tort et à travers de la mise au carré amène à de nombreux ennuis :
Dans beaucoup de domaines, on cherche s'il existe un lien entre deux choses différentes ; quand c'est le cas, on dit qu'il y a une corrélation entre elles.
Par exemple, la quantité d'heure d'ensoleillement est corrélée avec le nombre de coups de soleil...
Cependant, un site internet (en anglais) a relevé des corrélations absurdes (en apparence ?), par exemple entre le nombre de ventes d'iphone et le nombre de personnes mortes suite à une chute dans un escalier...
Remarque : plus le coefficient de corrélation est proche de 1 (ou de -1), plus la corrélation est forte.
Vous trouverez d'autres démonstrations biaisées sur cette série de vidéos d'Yvan Monka, intitulée "Cherchez l'erreur".