Je ne présente ici que des énoncés compréhensibles par tous, vous trouverez en bas de cette page des liens vers d'autres sites qui présentent également d'autres énoncés parfois plus compliqués mais aussi plus importants pour les mathématiques (comme l'ex-conjecture de Poincaré).
On commence par le problème qui a résisté le plus longtemps aux mathématiciens (plus de 3000 ans !), celui de la quadrature du cercle.
A l'origine des mathématiques, il y a la géométrie (particulièrement développée par les savants grecs de l'antiquité) et, pour représenter les figures géométriques, les géomètres disposaient essentiellement de deux outils bien connus des élèves : la règle et le compas.
Une des questions qui s'est posée (pendant l'antiquité égyptienne, voire avant) est celle de la quadrature du cercle :
Peut-on, en utilisant uniquement une règle et un compas, construire un carré de même aire qu'un disque donné ?
De nombreuses constructions ont été proposées pendant environ 3000 ans mais aucune n'était juste, à telle point que l'Académie des sciences de Paris a officiellement refusé d'examiner toute nouvelle "preuve" à partir de 1775.
On démontre assez facilement que réaliser la quadrature du cercle cela revient à construire un segment de longueur \(\sqrt{\pi}\).
Or, en 1837, P. L. Wantzel a démontré que les nombres constructibles sont solutions d'un certain type d'équation puis, en 1882, F. Lindemann a prouvé que \(\pi\) (et \(\sqrt{\pi}\)) n'est pas solution de ce genre d'équation : on dit que \(\pi\) est transcendant.
Conclusion : la quadrature du cercle est impossible !
Remarques :
Un triangle de dimensions 3 ; 4 et 5 est rectangle en vertu de l'égalité de Pythagore :\[3^2+4^2=5^2\]
Il existe une infinité de triangles rectangles dont les côtés sont des entiers donc de triplets d'entiers \(a;b;c\) tels que \[a^2+b^2=c^2\] (ce sont des triplets pythagoriciens).
On peut aussi dire qu'il est possible d'assembler deux carrés (de côtés entiers) pour en faire un seul carré (de côté entier) :
Est-il possible, dans le même ordre d'idées, de composer un cube à partir de deux cubes existants (tous de côtés entiers).
Sur cette figure, on y arrive presque :
Pierre de Fermat, un des plus grands mathématiciens français a constaté qu'il ne trouvait pas de solution, c'est-à-dire de triplets d'entiers \((a;b;c)\) tels que \(a^3+b^3=c^3\) ou \(a^4+b^4=c^4\), etc. Il a donc énoncé sa fameuse conjecture :
"L'équation \(a^n+b^n=c^n\) n'a pas de solutions entières si \(n\) est un entier supérieur à 2."
déclarant qu'il avait trouvé une démonstration.
Il a fallu environ 350 ans pour qu'Andrew Wiles (aidé de son étudiant Richard Taylor) parvienne à démontrer cette conjecture !
Euler énonce cette conjecture, qui généralise celle de Fermat, en 1772 :
"Pour tout entier n strictement supérieur à 2, une puissance n-ième ne peut pas s'écrire comme somme de n – 1 puissances n-ièmes."
Cela signifie, par exemple, qu'il n'existe pas de nombres entiers \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) tels que : \[a^4+b^4+c^4=d^4\] ou qu'il n'existe pas de nombres entiers \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) et \(e\) tels que : \[a^5+b^5+c^5+d^5=e^5\] Or, à force de faire des essais, on a fini, après deux siècles, par trouver un contre-exemple à cette affirmation : \[27^5+84^5+110^5+133^5=144^5\] Le plus petit (!) contre-exemple pour des puissances 4 est maintenant connu : \[95800^4+217519^4+414560^4=422481^4\] On comprend mieux qu'on ait pu croire juste la conjecture d'Euler avant l'apparition des ordinateurs !
On ne connaît d'ailleurs toujours pas de contre-exemple pour des puissances supérieures à 5 !
Observons les puissances (entières) des entiers strictement positifs :
On constate que parmi les résultats, il y a deux entiers consécutifs, à savoir 8 et 9.
Existe-t-il d'autres entiers strictement positifs consécutifs qui sont aussi des puissances d'entiers strictement positifs ?
Cette question, posée en 1844 par E. C. Catalan a été résolue en 2002 par P. Mihailescu : 8 et 9 sont les seuls entiers consécutifs qui peuvent s'écrire comme des puissances d'entiers.
Notez que la résolution de ce problème, bien que purement arithmétique, a nécessité l'utilisation d'outils de la théorie des ensembles, comme c'est souvent le cas.
Remarque : la conjecture de Pillai, qui généralise cette question n'a pas encore été prouvée.
Comment empiler des sphères de façon à en mettre le plus possible dans un volume donné ?
Képler a conjecturé en 1611 que l'empilement optimal est celui que l'on trouve sur les étals des marchés, et qui donne une densité d'environ 74 % (plus précisement \(\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\)).
Cette conjecture, d'apparence élémentaire, n'a été confirmée définitivement qu'en 1998 par Thomas Hales. Ce dernier a d'abord utilisé un ordinateur pour vérifier les nombreux cas à examiner dans la démonstration puis a modifié celle-ci afin que ses différentes étapes puissent être vérifiées par informatique (travail achevé en 2014).
Pour en savoir plus sur cette conjecture de Kepler, l'excellent site de Gérard Villemin.
Combien de sphères identiques peut-on disposer autour d'une sphère centrale de même taille ?
Lors d'une discussion datant de 1694, Newton suggéra qu'il y en a 12 au maximum tandis que son collègue Gregory pensait que, du fait qu'il restait de l'espace vide, on pouvait en disposer 13.
La réponse est venue plus de 250 ans plus tard (en 1953) avec une preuve de Schütte et Van der Waerden et c'est Newton qui avait raison.
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Voici un petit problème de géographe : combien faut-il de couleurs pour colorier une carte, de façon à ce que deux pays ayant une frontière commune ne soient pas coloriés de la même façon (on suppose que chacun des pays est en un seul morceau) ? F. Guthrie a supposé en 1852 que quatre couleurs suffisaient mais personne n'a réussi à le prouver avant 1976.
Après avoir réduit le nombre de cas (le nombre de cartes en quelque sorte) à un nombre fini de cas à étudier, deux mathématiciens ont ensuite confié à un ordinateur le soin de vérifier chacun d'entre-eux, ce qui a permis de confirmer la conjecture : quatre couleurs suffisent.
C'est le premier théorème démontré à l'aide d'un ordinateur, ce qui a divisé la communauté mathématique : peut-on faire confiance à des calculs faits par ordinateur (contrairement à ce qu'on pourrait penser, les calculs informatiques ne sont pas toujours exacts et on utilise fréquemment des codes de correction d'erreur) ? D'autres démonstrations ont suivies mais aucune pour l'instant ne permet de se passer de l'informatique. |
(source : Wikipédia) |
D'autres problèmes de coloriage ont été résolus récemment : le problème de Hadwiger-Nelson et la conjecture de Steinberg.
Liste de conjectures, résolues ou non
