Je ne présente ici que des énoncés compréhensibles par tous, vous trouverez en bas de cette page des liens vers d'autres sites qui présentent également d'autres énoncés parfois plus compliqués mais aussi plus importants pour les mathématiques (comme l'hypothèse de Riemann).
Un nombre entier est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs entiers stricts.
Exemples :
le nombre 4 a pour diviseurs stricts 1 et 2 (4 est aussi un diviseur de 4 mais on dit qu'il n'est pas "strict") dont la somme est \(1+2=3 \neq 4\) donc 4 n'est pas parfait ;
le nombre 6 a pour diviseurs stricts 1 ; 2 ; 3 dont la somme est \(1+2+3=6\) donc 6 est parfait. Voici les cinq premiers nombres parfaits connus : \[ 6 \qquad\qquad 28 \qquad\qquad 496 \qquad\qquad 8128 \qquad\qquad 33 550 336 \] Au vu de cette liste, on comprend aisément que, bien qu'ils soient connus depuis l'antiquité, on n'en connaît que très peu : seuls 48 d'entre eux ont été découverts !
On ne sait toujours pas s'il y en a une infinité, ni s'il en existe des impairs !
Parmi l'infinité de nombres entiers, il en existe certains qui se distinguent, ce sont les nombres premiers. Par définition, un nombre premier est un nombre entier qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Ainsi : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; ... sont premiers mais 9 ne l'est pas car il peut être divisé par 3. On remarque qu'à part 2, tous les nombres premiers sont impairs. Nous savons depuis l'antiquité grecque qu'il existe une infinité de nombres premiers mais leur répartition reste encore assez mystérieuse. Il arrive parfois que deux nombres impairs successifs soient premiers, on dit alors qu'ils sont jumeaux : \[3 \text{ et }5 \text{ sont jumeaux }\] \[5 \text{ et }7 \text{ sont jumeaux }\] \[11 \text{ et }13 \text{ sont jumeaux }\] On le voit, il y a plusieurs couples de nombres premiers jumeaux parmi les petits nombres, puis ils ont tendance à se raréfier.
On en trouve cependant régulièrement des très grands (avec plus de 200 000 chiffres !) mais personne n'a réussi à prouver qu'il y en a une infinité !
Zhang Yitang a prouvé en 2013 que pour tout nombre premier p, il existe un nombre premier parmi les 70 000 000 millions d'entiers suivant p (source).
Depuis, on a pu abaisser ce nombre à 270 mais on est encore loin d'un écart de 2 !
Pour en savoir plus sur les nombres premiers, vous pouvez lire les deux paragraphes suivants sur la conjecture de Goldbach et sur la 2ième conjecture de Hardy-Littlewood ou consulter cet article de Jean-Paul Delahaye.
Les nombres de Fermat (17ième siècle) sont les entiers qui s'écrivent \(F_n=2^{2^n}+1\) où \(n\) est un entier positif.
Les nombres de Fermat sont donc :
\(F_0=2^{2^0}+1=2^1+1=3\) ;
\(F_1=2^{2^1}+1=2^2+1=5\) ;
\(F_2=2^{2^2}+1=2^4+1=17\) ;
\(F_3=2^{2^3}+1=2^8+1=257\) ;
\(F_4=2^{2^4}+1=2^{16}+1=65 537\) ;
\(F_5=2^{2^5}+1=4294967297\) ;
etc.
Or 3, 5, 17 sont clairement des nombres premiers (divisibles seulement par 1 et par eux-mêmes) et Fermat a vérifié que 257 et 65537 le sont aussi.
Au vu de ces cinq exemples, il a donc supposé que les autres le sont aussi... mais ce n'est pas le cas !
En fait \(F_5\) n'est pas premier car \(F_5=641 \times 6700417\) (il est vrai que, sans machine, cette factorisation est loin d'être évidente) !
Le plus étonnant, c'est que malgré des recherches poussées, on n'a toujours pas trouvé d'autre nombre de Fermat premier à ce jour (autre que les cinq premiers) !
Un bon article (en deux parties) se trouve sur le site blogdemaths.
Nous avons vu précédemment ce que sont les nombres premiers.
Tout nombre entier peut se décomposer en produit de nombres premiers, ce qui est assez intuitif. Par exemple : \[12 = 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 3.\]
Mais un nombre entier peut-il se décomposer comme somme de nombres premiers ?
La plupart des nombres premiers (tous sauf le nombre 2) sont impairs donc, quand on en ajoute deux, on obtient un nombre pair, par exemple : \(13+29=42\). On a constaté que, réciproquement, tous les nombres pairs testés peuvent s'écrire comme somme de deux nombres premiers, ainsi : \[48=19+29 \qquad\qquad 84=13+71 \qquad\qquad\text{etc.}\] Vous pouvez vous-même faire des essais sur cette page. Cependant, cette possibilité de décomposer tout nombre pair comme somme de deux nombres premiers, qui apparaît dans une lettre de Goldbach de 1742, n'a toujours pas été démontrée !
Nous avons vu précédemment ce que sont les nombres premiers. Quand on en commence la liste, on constate qu'il y en a beaucoup au début puis qu'ils se raréfient (mais on sait qu'il y en a une infinité).
Ainsi entre 0 et 100, il y a 25 nombres premiers ; mais entre 100 et 200, il n'y en a que 21 ; entre 200 et 300, il y en a 16, etc.
Il semblerait en fait qu'il y ait plus de nombres premiers dans l'intervalle [0 ; 100] que dans n'importe quel autre intervalle de longueur 100.
La conjecture de Hardy-Littlewood dit ceci :
"Il y a plus de nombres premiers dans l'intervalle [0 ; N] que dans n'importe quel autre intervalle de longueur N".
On a testé cette conjecture avec des ordinateurs puissants sans qu'elle soit pour l'instant contredite... Cependant, les mathématiciens pensent qu'elle est fausse et qu'un contre-exemple doit exister entre 1,5 × 10174 et 2,2 × 101198 (source : Wikipédia) !!!
Pour en savoir plus, lisez cet article du blog Science étonnante.
Prenons un nombre entier, par exemple 21. S'il est pair, on le divise par 2. S'il est impair, on le multiplie par 3 puis on ajoute 1 au résultat. On applique ensuite les mêmes instructions au nombre obtenu. Ce qui donne, avec 21 : \[21 \to 3\times 21+1=64 \to 64\div2=32 \to 32\div2=16 \to 16\div2=8 \to 8\div2=4 \] \[\to 4\div2=2 \to 2\div2=1\to 3\times 1+1=4\to 4\div2=2 \to 2\div2=1 \to \dots\] On le voit, à partir du moment où on arrive à 1, il ne sert plus à rien de continuer car on voit se répéter la séquence \(1\to 4\to 2\to 1\to 4\to 2\to 1 \dots\). On a testé cette suite de calculs en remplaçant 21 par toute sorte de nombres et on a constaté que l'on retombe sur 1 ; cependant, on n'a pas encore réussi à prouver que cela sera toujours le cas (même si on l'a vérifié jusqu'à des nombres de plus de 18 chiffres). Pour en savoir plus, direction le blog de science étonnante.