Page en développement : collection d'objets mathématiques utiles pour des exercices par exemple.
La distance entre \(A(6;3)\) et \(B(-5;-4)\) est égale à \(\sqrt{170}\) et pas à 13.
(utiles pour avoir deux points à coordonnées entières sur un cercle de rayon entier)
\(25^2=7^2+24^2=15^2+20^2\) ;
\(65^2=16^2+63^2=33^2+56^2=39^2+52^2=25^2+60^2\) ;
\(85^2=13^2+84^2=36^2+77^2=51^2+68^2=40^2+75^2\) ;
\(205^2=187^2+84^2=123^2+164^2=133^2+156^2=45^2+200^2\).
La fonction définie par \(f(x)=x^2\sin\left(\dfrac{1}{x} \right)\) et \(f(0)=0\) est continue et dérivable mais \(f'\) n'est pas continue en 0.
Une fonction est dérivable en un point si et seulement si elle a un DL d'ordre 1 en ce point. Cela ne se généralise pas aux ordres supérieurs.
La fonction définie par \(f(x)=x^4\cos\left(\dfrac{1}{x^6} \right)\) et \(f(0)=0\) a un DL d'ordre 2 en 0 car \(f(x)=o(x^3)\) mais sa dérivée n'est pas continue en 0.
La fonction définie par \(f(x;y)=\dfrac{xy}{x^3+y^3}\) et \(f(0;0)=0\) a des dérivées partielles en 0 mais n'est pas dérivable dans la direction \(v=(1;1)\) car \(f(0+tv)=f(t;t)=\dfrac{1}{2t}\) donc le taux de variation est \(\dfrac{f(0+tv)-f(0)}{t}=\dfrac{1}{2t^2}\) qui tend vers \(+\infty\).
La fonction définie par \(f(x;y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}\) et \(f(0;0)=0\) a des dérivées dans toutes les directions mais n'est pas différentiable.
Par contre, si les dérivées partielles sont continues alors la fonction est différentiable.
La fonction définie par \(f(x;y)=\dfrac{y^2}{x}\) si \(x \neq0\) et \(f(x;y)=y\) si \(x=0\) a des dérivées dans toutes les directions mais n'est pas continue en (0;0).
Par contre, si les dérivées partielles sont continues alors la fonction l'est aussi.
Deux matrices inverses à coefficients entiers : \(P=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&0&0\\-2&1&-2\end{pmatrix}\) et \(P^{-1}=\begin{pmatrix}0&1&0\\2&0&1\\1&-1&0\end{pmatrix}\).
Matrices nilpotentes : \(\begin{pmatrix}6&9\\-4&-6\end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix}-1&2\\-1/2&1\end{pmatrix}\).
Matrice diagonalisable avec deux valeurs propres : \(\begin{pmatrix}0&3&-1\\2&-1&1\\0&0&2\end{pmatrix}\) a pour v.p. 2 et \(-3\).
Matrice non diagonalisable : \(\begin{pmatrix}3&-3&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\) a pour v.p. 1.
Deux limites qui ne permutent pas : \(\lim\limits_{k}\lim\limits_{n} \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^{k} \neq \lim\limits_{n}\lim\limits_{k} \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^{k}\).
Une limite trompeuse : \(\lim\limits_{n} 1+\dfrac{1}{n} = 1\) mais \( \lim\limits_{n}\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^{n} \neq 1\).
Une courbe périodique mais qui ne fait pas une boucle : \(x(t)=\cos(2t)\) et \(y(t)=\sin(t)\).
J'avais noté \(x^3-5x^2+2x+8\) mais je ne sais plus pourquoi !