Voici quelques uns des paradoxes, logiques ou mathématiques les plus célèbres. Ceux-ci n'ont pas d'explication simple et je ne prendrai pas le risque d'essayer de les expliquer, je laisse le soin à chacun d'aller se renseigner sur les sources que je donne.
Ce paradoxe date de l'antiquité grecque et a été formulé par Zénon d'Elée qui en a formulé d'autres.
Supposons qu'Achille fasse une course avec une tortue, comme il est un héros grec, il décide de laisser à la tortue 10 mètres d'avance.
Les deux démarrent la course en même temps :
Achille parcourt les 10 mètres qui le sépare de la tortue mais, pendant ce temps, la tortue a avancé de 1 m (oui, elle est rapide !) ;
Achille parcourt le mètre qui le sépare à nouveau de la tortue mais, pendant ce temps, la tortue a avancé de 10 cm ;
et ainsi de suite...
A chaque fois, pendant qu'Achille rejoint la position de la tortue, celle-ci a avancé donc ... Achille ne rattrapera jamais la tortue !!!
Ce paradoxe a incité les mathématiciens à réfléchir à la notion d'infini et de mouvement... et des réponses ont été apportées d'un point de vue mathématique.
Sur une île, un barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes (règle 1) et seulement ceux-là (règle 2).
Qui rase le barbier ?
Deux cas se présentent :
soit il se rase lui-même, dans ce cas il ne respecte pas sa règle 2 ;
soit il ne se rase pas lui-même, dans ce cas il devrait se raser selon sa règle 1.
Ce paradoxe apparent a une réponse simple : ce barbier n'existe pas...
Il est relié au paradoxe de Russell (vidéo) qui a obligé les mathématiciens à définir rigoureusement la théorie des ensembles (en considérant par exemple que l'ensemble de tous les ensembles n'existe pas).
Paradoxe de Berry
Certains nombres peuvent être définis par des phrases de 15 mots maximum, par exemples
la phrase " Le nombre compris entre 22 et 24 " définit le nombre 23 ;
la phrase " L'aire d'un carré de côté 3 " définit le nombre 9 ;
etc.
Appelons E l'ensemble des nombres qu'on peut définir en 15 mots maximum.
Remarquons que :
si nous supposons que la langue française comporte 200 000 mots, alors nous ne pouvons former "que" 200 00015 enchaînements de 15 mots, dont la plupart n'ont aucun sens ;
parmi ces "phrases", seules certaines définissent des nombres ;
donc l'ensemble E est fini ;
il existe donc des nombres qui ne sont pas dans E ;
soit donc le nombre n défini par la phrase : " Le plus petit nombre qu'on ne peut pas définir en 15 mots maximum " ;
par définition n n'appartient pas à l'ensemble E mais, puisque la phrase ci-dessus comporte 14 mots, n appartient à l'ensemble E ;
conclusion : n appartient et n'appartient pas à E !!!
Un professeur annonce à ses élèves qu'ils auront une interrogation surprise la semaine prochaine.
Un élève malin tient alors le raisonnement suivant :
si jeudi soir, il n'y a pas eu d'interrogation alors elle aura lieu vendredi et donc ça ne sera plus une surprise, par conséquent on sait que l'interrogation aura lieu entre lundi et jeudi, ou, autrement dit, on peut considérer que la semaine "à risque" se termine jeudi ;
en appliquant le même raisonnement à cette semaine réduite, on peut conclure que l'interrogation aura lieu entre lundi et mercredi et considérer que la semaine se termine mercredi ;
et ainsi de suite...
Conclusion : il n'y aura pas d'interrogation surprise !
