Page modifiée le 17/08/2021

Pythagore et Einstein

où on démontre simplement (niveau fin Collège) que le temps ne s’écoule pas de la même façon pour tout le monde…

Outils nécessaires :

  • la distance parcourue par un objet pendant un temps t, à une vitesse constante v, s’écrit :

    d = v t

  • la vitesse de la lumière ne dépend pas de l’observateur : c’est un des postulats de la relativité restreinte d’Einstein de 1905 (posé suite à l’expérience de Michelson et Morley)

  • théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle de dimensions a, b, c où c est la plus grande des trois, on a :

    c2 = a2 + b2

Considérons un vaisseau se déplaçant à une vitesse v.

Dans ce vaisseau, un rayon lumineux est émis, suivant la trajectoire indiquée sur la figure ci-dessous ; la vitesse (ou « célérité ») de la lumière est notée c (environ 300 000 km/s pour information).

Quel est le temps mis par le rayon pour aller d’un bord à l’autre du vaisseau ?

Supposons qu'Éloïse, qui est à bord du vaisseau, ait une montre ultra-précise ; si la largeur du vaisseau est de 100 m, ce qui est déjà beaucoup, Éloïse verra s’écouler un temps de :

t = d/c = 100 / 300 000 000 = 0,0000003 seconde environ !

Maintenant, imaginons que vous soyez au sol, immobile (en imaginant qu’il y a quelque chose d’immobile dans l’espace…), et que vous observiez ce rayon. Pour vous, combien de temps met le rayon pour aller d’un bord à l’autre du vaisseau ? On se dit qu’à votre montre il se sera évidemment écoulé le même temps (donc 0,0000003 seconde environ).

Supposons le contraire…

Soit donc t le temps mesuré par la montre d’Éloïse et T celui mesuré par votre montre.

On a ici trois distances importantes :

Appliquons le théorème de Pythagore :

AC2 = AB2 + BC2

donc

(c T)2 = (c t)2 + (v T)2

d’où l’on déduit que

(c2v2) T2 = c2 t2

puis que

\[ t = T \sqrt{1 − \dfrac{v^2}{c^2}}\]

Si la vitesse du vaisseau est nulle (v = 0) alors \( \sqrt{1 − \dfrac{v^2}{c^2}}=1\) donc t=T.

Par contre, dès que le vaisseau est en mouvement, \( \sqrt{1 − \dfrac{v^2}{c^2}}\neq 1\) donc t T !

Les deux montres afficheront donc des temps différents pour la mesure d’un même phénomène : le temps est relatif.

Remarquons pour finir que \( \sqrt{1 − \dfrac{v^2}{c^2}}\leq 1\) donc tT : vous « verrez » le rayon se déplacer plus lentement qu’Éloïse, on parle de dilatation du temps.
En théorie, une personne voyageant dans un vaisseau à une grande vitesse vieillirait moins vite que les membres de sa famille (voir le film Interstellar et le paradoxe des jumeaux).