Il est le produit de deux imaginaires conjugués (un enfant du pape et son conjoint), donc il est bel et bien réel !
Voici quelques petites énigmes ou blagues qui demandent un peu plus de culture mathématique (disons niveau fin de Terminale).
Les sources principales restent Bacamaths et Enigmatum.
Le petit fils du pape existe-t-il ?
Il est le produit de deux imaginaires conjugués (un enfant du pape et son conjoint), donc il est bel et bien réel !
Logarithme et exponentielle sont au restaurant.
Qui paie l'addition ?
Exponentielle car logarithme ne paie rien !
Où est l’erreur dans le raisonnement suivant :
\[e^{2i\pi} = 1\]
En élevant à la puissance \(x\) :
\[e^{2i\pi x} = 1\]
En choisissant \(x =1/2\), on obtient :
\[e^{i\pi} = 1\]
donc
\[-1=1\]
En choisissant \(x =1/4\), on obtient :
\[e^{i\pi/2} = 1\]
donc
\[i=1\]
Finalement, \(-1 = 1 = i\) ???
Tout le monde connaît la règle :
(A^n)^m = A^(nm)
Ce qui est moins connu, c’est son champ d’application :
(A réel strictement positif et (n, m) couple de réels) ou
(A complexe non nul et (n, m) couple d’entiers relatifs)
Ici, A est un complexe. Cela n’a pas de sens de l’élever
à la puissance 1/2 ou 1/4.
Considérons l’équation :
\[x^2 + 1 = 0\]
Nous pouvons encore l’écrire :
\[(x + 1)^2 - 2x = 0\]
\[x = ((x + 1)^2)/2\]
Comme un carré est toujours positif ou nul, on en déduit que :
\[x ≥ 0\]
Mais notre équation de départ peut également s’écrire :
\[ (x - 1)^2 + 2x = 0\]
d'où :
\[x = (-(x - 1)^2)/2\]
Comme un carré est toujours positif ou nul, on en déduit :
\[x ≤ 0\]
On a vu que \(x ≥ 0\) et \(x ≤ 0\), donc \(x = 0\).
Pourtant 0 ne vérifie pas l’équation de départ.
Où est l’erreur ?
Le raisonnement prouve en fait que :
« si \(x\) est une solution réelle de l’équation \(x^2 + 1 = 0\) alors \(x = 0\) »
Il s’agit d’un raisonnement par « implication ».
Donc, une vérification s’impose.
Comme 0 n’est pas solution de l’équation de départ,
il n’y a pas solutions réelles à l’équation proposée.
(Ce que l’on pouvait d’ailleurs observer très facilement dès le départ !)
Décryptez le rébus suivant :
I ate some pie and It was delicious
(j'ai mangé de la tarte et c'était délicieux)
Un jour un cosinus va dans un bar où il n'y a que des sinus. Il reste tout seul dans son coin, à l'extrémité du comptoir.
Un sinus s'approche de lui et lui demande pourquoi il reste dans sa solitude. Le cosinus répond: "Ben, je suis le seul cosinus dans un bar de sinus !"
Que lui répond le sinus ?
Que répond une mathématicienne venant d'accoucher à qui l'on demande "Avez-vous eu un garçon ou une fille ?"
"Oui !"
(pensez à la réunion de deux événements)